مربع آر المعدل

يقيم مربع آر المعدل ملاءمة نموذج الانحدار مع التعديل على المتغيرات المستقلة لتجنب الإفراط في الملاءمة. وعلى عكس مربع آر، فإنه يرتفع فقط مع المتغيرات المهمة. يُعد أساسياً في تحليل الانحدار، ويساعد في اختيار النماذج وتقييم الأداء في مجالات مثل المالية.

مربع آر المعدل هو مقياس إحصائي يُستخدم لتقييم مدى جودة ملاءمة نموذج الانحدار. وهو نسخة معدلة من مربع آر (أو معامل التحديد) تأخذ في الاعتبار عدد المتغيرات المستقلة في النموذج. بخلاف مربع آر، الذي يمكن أن يرتفع بشكل مصطنع عند إضافة المزيد من المتغيرات المستقلة، يقوم مربع آر المعدل بضبط نفسه وفقًا لعدد المتغيرات، مما يوفر مقياسًا أكثر دقة لقدرة النموذج على الشرح. يرتفع فقط إذا حسّن المتغير الجديد القدرة التنبؤية للنموذج أكثر مما هو متوقع بالصدفة، وينخفض عندما لا يضيف المتغير قيمة ذات دلالة.

فهم المفهوم

مربع آر مقابل مربع آر المعدل

• مربع آر: يمثل نسبة التباين في المتغير التابع الذي يمكن التنبؤ به من المتغيرات المستقلة. يتم حسابه كنسبة التباين المفسر إلى إجمالي التباين ويتراوح بين 0 و1، حيث يشير الرقم 1 إلى أن النموذج يفسر كل التغير في البيانات حول المتوسط.
• مربع آر المعدل: يقوم هذا المقياس بتعديل قيمة مربع آر بناءً على عدد المتغيرات المستقلة في النموذج. يتم هذا التعديل لمراعاة إمكانية الإفراط في الملاءمة التي قد تحدث عند تضمين عدد كبير من المتغيرات. يكون مربع آر المعدل دائماً أقل من أو يساوي مربع آر، ويمكن أن يكون سالباً، مما يشير إلى أن النموذج أسوأ من خط أفقي يمر بمتوسط المتغير التابع.

الصيغة الرياضية

صيغة مربع آر المعدل هي:

[ \text{Adjusted } R^2 = 1 – \left( \frac{1-R^2}{n-k-1} \right) \times (n-1) ]

حيث:

• ( R^2 ) هو مربع آر،
• ( n ) هو عدد المشاهدات،
• ( k ) هو عدد المتغيرات المستقلة (المتنبئات).

الأهمية في تحليل الانحدار

يعتبر مربع آر المعدل ضرورياً في تحليل الانحدار، خاصة عند التعامل مع نماذج الانحدار المتعدد التي تتضمن عدة متغيرات مستقلة. فهو يساعد على تحديد أي المتغيرات تقدم معلومات ذات معنى وأيها لا يفعل. تصبح هذه النقطة ذات أهمية خاصة في مجالات مثل المالية والاقتصاد وعلم البيانات حيث يُعد التنبؤ عاملاً رئيسياً.

الإفراط في الملاءمة وتعقيد النموذج

إحدى المزايا الرئيسية لمربع آر المعدل هي قدرته على معاقبة إضافة المتغيرات غير المهمة. عادة ما يؤدي إدراج المزيد من المتغيرات في نموذج الانحدار إلى زيادة مربع آر بسبب احتمال التقاط الضوضاء العشوائية. ومع ذلك، لا يرتفع مربع آر المعدل إلا إذا حسّن المتغير المضاف القدرة التنبؤية للنموذج، مما يساعد على تجنب الإفراط في الملاءمة.

حالات الاستخدام والأمثلة

الاستخدام في تعلم الآلة

في تعلم الآلة، يُستخدم مربع آر المعدل لتقييم أداء نماذج الانحدار. ويكون مفيداً بشكل خاص في اختيار الميزات، وهي جزء أساسي من تحسين النماذج. باستخدام مربع آر المعدل، يمكن لعلماء البيانات التأكد من أن الميزات التي يتم تضمينها في النموذج هي فقط تلك التي تساهم فعلياً في دقته.

التطبيق في المالية

في مجال المالية، غالباً ما يُستخدم مربع آر المعدل لمقارنة أداء المحافظ الاستثمارية مقابل مؤشر مرجعي. من خلال التعديل على عدد المتغيرات، يمكن للمستثمرين فهم مدى تفسير عوائد المحفظة بواسطة عوامل اقتصادية متعددة بشكل أفضل.

مثال بسيط

افترض أن هناك نموذجاً يتنبأ بأسعار المنازل بناءً على المساحة وعدد غرف النوم. في البداية، يظهر النموذج قيمة مربع آر مرتفعة، مما يشير إلى ملاءمة جيدة. إلا أنه عند إضافة متغيرات غير ذات صلة مثل لون باب المنزل، قد تظل قيمة مربع آر مرتفعة. في هذه الحالة، ستنخفض قيمة مربع آر المعدل، مما يدل على أن المتغيرات الجديدة لا تحسن القدرة التنبؤية للنموذج.

مثال تفصيلي

وفقاً لدليل من معهد التمويل المؤسسي، افترض وجود نموذجين للانحدار بهدف التنبؤ بسعر البيتزا. النموذج الأول يستخدم سعر العجينة فقط كمتغير إدخال، ويحقق مربع آر بقيمة 0.9557 ومربع آر معدل بقيمة 0.9493. يضيف النموذج الثاني درجة الحرارة كمتغير إدخال ثانٍ، ويحقق مربع آر بقيمة 0.9573 ولكن مربع آر معدل أقل بقيمة 0.9431. يشير مربع آر المعدل بشكل صحيح إلى أن درجة الحرارة لا تحسن القدرة التنبؤية للنموذج، مما يدفع المحللين لتفضيل النموذج الأول.

المقارنة مع المقاييس الأخرى

بينما يُستخدم كل من مربع آر ومربع آر المعدل لقياس مدى جودة ملاءمة النموذج، إلا أنهما ليسا قابلين للاستبدال ويخدمان أغراضاً مختلفة. قد يكون مربع آر مناسباً أكثر للانحدار الخطي البسيط مع متغير مستقل واحد، بينما يكون مربع آر المعدل أكثر ملاءمة لنماذج الانحدار المتعدد التي تحتوي على عدة متغيرات مستقلة.