Angepasstes R-Quadrat

Das angepasste R-Quadrat bewertet die Anpassung von Regressionsmodellen, indem es die Anzahl der Prädiktoren berücksichtigt, um Überanpassung zu vermeiden. Im Gegensatz zum R-Quadrat steigt es nur bei signifikanten Prädiktoren. Es ist essenziell in der Regressionsanalyse und unterstützt die Modellauswahl und Leistungsbewertung, etwa im Finanzwesen.

Das angepasste R-Quadrat ist ein statistisches Maß zur Bewertung der Güte der Anpassung eines Regressionsmodells. Es handelt sich um eine modifizierte Version des R-Quadrats (Bestimmtheitsmaß), das die Anzahl der Prädiktoren im Modell berücksichtigt. Im Gegensatz zum R-Quadrat, das durch das Hinzufügen weiterer unabhängiger Variablen künstlich steigen kann, passt das angepasste R-Quadrat den Wert an die Anzahl der Prädiktoren an und liefert so eine genauere Messung der erklärenden Kraft eines Modells. Es steigt nur, wenn der neue Prädiktor die Prognosekraft des Modells stärker verbessert, als es zufällig zu erwarten wäre, und sinkt, wenn ein Prädiktor keinen signifikanten Mehrwert bietet.

Das Konzept verstehen

R-Quadrat vs. angepasstes R-Quadrat

• R-Quadrat: Gibt den Anteil der Varianz in der abhängigen Variable an, der von den unabhängigen Variablen erklärt werden kann. Es wird als Verhältnis der erklärten Varianz zur Gesamtvarianz berechnet und reicht von 0 bis 1, wobei 1 bedeutet, dass das Modell die gesamte Variabilität der Antwortdaten um deren Mittelwert erklärt.
• Angepasstes R-Quadrat: Dieses Maß passt den R-Quadrat-Wert auf Basis der Anzahl der Prädiktoren im Modell an. Die Anpassung erfolgt, um der Möglichkeit einer Überanpassung entgegenzuwirken, die entstehen kann, wenn zu viele Prädiktoren in ein Modell aufgenommen werden. Das angepasste R-Quadrat ist immer kleiner oder gleich dem R-Quadrat und kann negativ sein, was darauf hinweist, dass das Modell schlechter ist als eine horizontale Linie durch den Mittelwert der abhängigen Variable.

Mathematische Formel

Die Formel für das angepasste R-Quadrat lautet:

[ \text{Angepasstes } R^2 = 1 – \left( \frac{1-R^2}{n-k-1} \right) \times (n-1) ]

Dabei gilt:

• ( R^2 ) ist das R-Quadrat,
• ( n ) ist die Anzahl der Beobachtungen,
• ( k ) ist die Anzahl der unabhängigen Variablen (Prädiktoren).

Bedeutung in der Regressionsanalyse

Das angepasste R-Quadrat ist besonders in der Regressionsanalyse wichtig, insbesondere bei multiplen Regressionsmodellen mit mehreren unabhängigen Variablen. Es hilft zu bestimmen, welche Variablen sinnvolle Informationen liefern und welche nicht. Das ist besonders in Bereichen wie Finanzen, Wirtschaft und Data Science relevant, in denen Prognosemodelle eine zentrale Rolle spielen.

Überanpassung und Modellkomplexität

Einer der Hauptvorteile des angepassten R-Quadrats ist die Fähigkeit, die Hinzufügung nicht signifikanter Prädiktoren zu bestrafen. Das Hinzufügen weiterer Variablen zu einem Regressionsmodell erhöht das R-Quadrat in der Regel, weil so auch zufälliges Rauschen erfasst werden kann. Das angepasste R-Quadrat steigt jedoch nur, wenn die zusätzliche Variable die Prognosekraft des Modells verbessert, und verhindert so Überanpassung.

Anwendungsfälle und Beispiele

Verwendung im maschinellen Lernen

Im maschinellen Lernen wird das angepasste R-Quadrat zur Leistungsbewertung von Regressionsmodellen eingesetzt. Besonders nützlich ist es bei der Merkmalsauswahl, einem wesentlichen Bestandteil der Modelloptimierung. Mithilfe des angepassten R-Quadrats können Datenwissenschaftler sicherstellen, dass nur Merkmale, die tatsächlich zur Genauigkeit des Modells beitragen, einbezogen werden.

Anwendung im Finanzwesen

Im Finanzwesen wird das angepasste R-Quadrat häufig verwendet, um die Performance von Anlageportfolios mit einem Benchmark-Index zu vergleichen. Durch die Anpassung an die Anzahl der Variablen erhalten Investoren ein besseres Verständnis darüber, wie gut die Renditen eines Portfolios durch verschiedene wirtschaftliche Faktoren erklärt werden.

Einfaches Beispiel

Betrachten wir ein Modell zur Vorhersage von Hauspreisen anhand der Quadratmeterzahl und der Anzahl der Schlafzimmer. Anfangs zeigt das Modell einen hohen R-Quadrat-Wert, was auf eine gute Anpassung hindeutet. Werden jedoch zusätzliche irrelevante Variablen, wie zum Beispiel die Farbe der Haustür, hinzugefügt, kann das R-Quadrat weiterhin hoch bleiben. Das angepasste R-Quadrat würde in diesem Fall sinken und anzeigen, dass die neuen Variablen die Prognosekraft des Modells nicht verbessern.

Detailliertes Beispiel

Laut einem Leitfaden des Corporate Finance Institute werden zwei Regressionsmodelle zur Vorhersage des Preises einer Pizza betrachtet. Das erste Modell verwendet den Preis des Teigs als einzige Eingangsvariable und ergibt ein R-Quadrat von 0,9557 sowie ein angepasstes R-Quadrat von 0,9493. Ein zweites Modell fügt die Temperatur als zweite Eingangsvariable hinzu, was zu einem R-Quadrat von 0,9573, aber einem niedrigeren angepassten R-Quadrat von 0,9431 führt. Das angepasste R-Quadrat zeigt korrekt an, dass die Temperatur die Prognosekraft des Modells nicht verbessert, sodass Analysten das erste Modell bevorzugen sollten.

Vergleich mit anderen Kennzahlen

Sowohl das R-Quadrat als auch das angepasste R-Quadrat dienen der Messung der Güte der Anpassung eines Modells, sind jedoch nicht austauschbar und erfüllen unterschiedliche Zwecke. Das R-Quadrat ist für einfache lineare Regressionen mit nur einer unabhängigen Variablen oft ausreichend, während das angepasste R-Quadrat besser für multiple Regressionsmodelle mit mehreren Prädiktoren geeignet ist.