크로스 엔트로피

크로스 엔트로피는 정보 이론과 머신러닝 모두에서 핵심적인 개념으로, 동일한 사건 집합에 대한 두 확률 분포 간의 차이를 측정하는 지표 역할을 합니다. 머신러닝에서는 이 측정값이 손실 함수로서 특히 중요한데, 이는 모델의 예측 출력과 데이터 내 실제 레이블 간의 불일치를 정량화하는 데 사용됩니다. 이러한 정량화는 모델 학습에서 필수적이며, 특히 분류 작업에서 예측 오류를 최소화하고 모델 성능을 향상시키기 위해 가중치를 조정하는 데 도움을 줍니다.

크로스 엔트로피 이해하기

이론적 배경

크로스 엔트로피(H(p, q))는 두 확률 분포 p(실제 분포)와 q(모델이 예측한 분포) 간의 차이를 계산하는 개념입니다. 이산(discrete) 분포에 대해, 크로스 엔트로피는 다음과 같이 수학적으로 표현됩니다.

$$ H(p, q) = -\sum_{x} p(x) \log q(x) $$

여기서:

• p(x) 는 사건 x의 실제 확률을 의미합니다.
• q(x) 는 사건 x에 대한 모델의 예측 확률입니다.

크로스 엔트로피는 실제 분포(p)가 아닌, 예측 분포(q)에 최적화된 부호화 방식을 사용할 때 어떤 사건을 식별하는 데 평균적으로 필요한 비트 수를 계산합니다.

Kullback-Leibler 발산과의 관계

크로스 엔트로피는 Kullback-Leibler(KL) 발산과 밀접한 관련이 있습니다. KL 발산은 한 확률 분포가 다른 기대 확률 분포로부터 얼마나 벗어나는지를 평가합니다. 크로스 엔트로피 H(p, q)는 실제 분포의 엔트로피 H(p)와 KL 발산 D_{KL}(p || q)의 합으로 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

$$ H(p, q) = H(p) + D_{KL}(p \parallel q) $$

이 관계는 크로스 엔트로피가 예측 오차를 정량화하고, 통계 이론과 실제 머신러닝 응용을 연결하는 핵심 역할을 한다는 점을 보여줍니다.

머신러닝에서의 중요성

머신러닝, 특히 분류 문제에서 크로스 엔트로피는 예측된 확률 분포가 실제 레이블의 분포와 얼마나 잘 일치하는지를 평가하는 손실 함수로 사용됩니다. 올바른 클래스에 가장 높은 확률을 할당하는 것이 목적일 때 특히 효과적으로, 모델 학습 과정에서 최적화를 안내합니다.

크로스 엔트로피 손실 함수의 종류

이진 크로스 엔트로피 손실

이 함수는 두 가지 클래스(예: 참/거짓, 긍정/부정)가 있는 이진 분류 문제에 사용됩니다. 이진 크로스 엔트로피 손실 함수는 다음과 같이 표현됩니다.

$$ L = -\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N [y_i \log(p_i) + (1-y_i) \log(1-p_i)] $$

여기서:

• N 은 샘플의 개수를 나타냅니다.
• y_i 는 실제 레이블(0 또는 1)입니다.
• p_i 는 양성 클래스에 대한 모델의 예측 확률입니다.

범주형 크로스 엔트로피 손실

두 개 이상의 클래스가 있는 다중 분류 문제에 사용됩니다. 범주형 크로스 엔트로피 손실은 다음과 같이 계산됩니다.

$$ L = -\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{C} y_{ij} \log(p_{ij}) $$

여기서:

• C 는 클래스의 개수입니다.
• y_{ij} 는 샘플 i의 클래스 j에 대한 실제 레이블입니다.
• p_{ij} 는 샘플 i의 클래스 j에 대한 예측 확률입니다.

실용 예시

고양이, 개, 말로 이루어진 세 개의 클래스가 있는 분류 시나리오를 생각해봅시다. 한 이미지의 실제 레이블이 개(원-핫 벡터 [0, 1, 0])이고, 모델의 예측이 [0.4, 0.4, 0.2] 일 경우, 크로스 엔트로피 손실은 다음과 같이 계산됩니다.

$$ L(y, \hat{y}) = – (0 \times \log(0.4) + 1 \times \log(0.4) + 0 \times \log(0.2)) = 0.92 $$

더 낮은 크로스 엔트로피 값은 모델의 예측 확률이 실제 레이블과 더 잘 일치함을 의미하며, 이는 더 나은 모델 성능을 반영합니다.

AI 및 자동화 분야의 활용 사례

크로스 엔트로피는 특히 지도 학습 프레임워크에서 AI 모델 학습에 필수적입니다. 주요 적용 분야는 다음과 같습니다.

1. 이미지 및 음성 인식
   이미지 분류나 음성 패턴 인식 모델은 정확도를 높이기 위해 크로스 엔트로피를 자주 사용합니다.
2. 자연어 처리(NLP)
   감정 분석, 언어 번역, 텍스트 분류 등에서 예측값과 실제 레이블을 최적화하기 위해 크로스 엔트로피가 활용됩니다.
3. 챗봇 및 AI 어시스턴트
   크로스 엔트로피는 챗봇 모델의 응답이 사용자 기대에 더 잘 부합하도록 개선하는 데 도움을 줍니다.
4. AI 자동화 시스템
   자동화 의사결정 시스템에서 AI 예측값이 원하는 결과와 일치하도록 하여 시스템 신뢰성을 높입니다.

파이썬 구현 예시

import numpy as np

def cross_entropy(y_true, y_pred):
    y_true = np.float_(y_true)
    y_pred = np.float_(y_pred)
    return -np.sum(y_true * np.log(y_pred + 1e-15))

# 사용 예시
y_true = np.array([0, 1, 0])  # 실제 레이블 (원-핫 인코딩)
y_pred = np.array([0.4, 0.4, 0.2])  # 예측 확률

loss = cross_entropy(y_true, y_pred)
print(f"Cross-Entropy Loss: {loss}")

이 파이썬 예제에서 cross_entropy 함수는 실제 레이블과 예측 확률 간의 손실을 계산하여 모델 평가 및 최적화를 돕습니다.