Düzeltilmiş R-kare

Düzeltilmiş R-kare, regresyon modeli uyumunu tahminci sayısına göre ayarlayarak aşırı uyumu önler. R-kare’den farklı olarak, yalnızca anlamlı tahmincilerle artar. Regresyon analizinde temel bir metriktir; finans gibi alanlarda model seçimi ve performans değerlendirmesinde yardımcı olur.

Düzeltilmiş R-kare, bir regresyon modelinin uyum iyiliğini değerlendirmek için kullanılan istatistiksel bir ölçüdür. R-kare’nin (veya belirleme katsayısının) değiştirilmiş bir versiyonudur ve modeldeki tahminci sayısını dikkate alır. R-kare, modele daha fazla bağımsız değişken eklendiğinde yapay olarak artabilirken, Düzeltilmiş R-kare tahminci sayısına göre ayarlanır ve modelin açıklayıcı gücünü daha doğru ölçer. Yeni bir tahminci, modelin öngörü gücünü tesadüften daha fazla artırırsa Düzeltilmiş R-kare artar, anlamlı bir katkı sağlamıyorsa azalır.

Kavramı Anlamak

R-kare vs. Düzeltilmiş R-kare

• R-kare: Bağımlı değişkendeki varyansın ne kadarının bağımsız değişkenlerle açıklanabildiğini gösterir. Açıklanan varyansın toplam varyansa oranı olarak hesaplanır ve 0 ile 1 arasında değişir; 1 değeri modelin tüm değişkenliği açıkladığını gösterir.
• Düzeltilmiş R-kare: Bu metrik, modeldeki tahminci sayısına göre R-kare değerini ayarlar. Çok fazla tahminci eklenmesiyle oluşabilecek aşırı uyumu hesaba katmak için ayarlama yapılır. Düzeltilmiş R-kare her zaman R-kare’den küçük veya ona eşit olur ve negatif olabilir; bu, modelin bağımlı değişkenin ortalamasından geçen yatay bir çizgiden daha kötü olduğunu gösterir.

Matematiksel Formül

Düzeltilmiş R-kare için formül:

[ \text{Düzeltilmiş } R^2 = 1 – \left( \frac{1-R^2}{n-k-1} \right) \times (n-1) ]

Burada:

• ( R^2 ) R-kare değeridir,
• ( n ) gözlem sayısıdır,
• ( k ) bağımsız değişken (tahminci) sayısıdır.

Regresyon Analizinde Önemi

Düzeltilmiş R-kare, özellikle birden fazla bağımsız değişkenin dahil edildiği çoklu regresyon modellerinde, regresyon analizinde çok önemlidir. Hangi değişkenlerin anlamlı bilgi kattığını, hangilerinin ise katkı sağlamadığını belirlemeye yardımcı olur. Bu, öngörü modellerinin kritik olduğu finans, ekonomi ve veri bilimi gibi alanlarda özellikle önemlidir.

Aşırı Uyum ve Model Karmaşıklığı

Düzeltilmiş R-kare’nin en önemli avantajlarından biri, anlamsız tahmincilerin eklenmesini cezalandırabilmesidir. Bir regresyon modeline daha fazla değişken eklemek genellikle R-kare’yi artırır, çünkü rastgele gürültü bile modele dahil edilebilir. Ancak, Düzeltilmiş R-kare yalnızca eklenen değişken modelin öngörü gücünü artırıyorsa yükselir; böylece aşırı uyumun önüne geçilir.

Kullanım Alanları ve Örnekler

Makine Öğreniminde Kullanımı

Makine öğreniminde, Düzeltilmiş R-kare regresyon modellerinin performansını değerlendirmek için kullanılır. Özellik seçimi, model optimizasyonunun ayrılmaz bir parçası olduğundan, Düzeltilmiş R-kare ile veri bilimciler yalnızca gerçekten modelin doğruluğuna katkı sağlayan değişkenleri dahil edebilirler.

Finans Alanında Uygulama

Finansta, Düzeltilmiş R-kare genellikle yatırım portföylerinin bir kıyas endeksine karşı performansını karşılaştırmak için kullanılır. Değişken sayısına göre ayarlama yapılarak, yatırımcılar bir portföyün getirilerinin çeşitli ekonomik faktörlerle ne kadar iyi açıklandığını daha iyi anlayabilir.

Basit Örnek

Metrekare ve oda sayısına göre ev fiyatı tahmin eden bir model düşünün. Başlangıçta model yüksek bir R-kare gösterir ve iyi bir uyum sağlar. Ancak, ön kapının rengi gibi ilgisiz değişkenler eklendiğinde R-kare yüksek kalabilir. Bu durumda, Düzeltilmiş R-kare azalır ve yeni değişkenlerin modelin öngörü gücünü artırmadığını gösterir.

Detaylı Örnek

Corporate Finance Institute’un bir rehberine göre, pizza fiyatını tahmin etmek için iki regresyon modeli düşünelim. İlk model, giriş değişkeni olarak yalnızca hamur fiyatını kullanır; R-kare 0,9557 ve düzeltilmiş R-kare 0,9493 olur. İkinci model, sıcaklığı ikinci bir giriş değişkeni olarak ekler; R-kare 0,9573’e çıkar ancak düzeltilmiş R-kare 0,9431’e düşer. Düzeltilmiş R-kare, sıcaklığın modelin öngörü gücünü artırmadığını doğru şekilde gösterir ve analistlerin ilk modeli tercih etmesine yardımcı olur.

Diğer Metriklerle Karşılaştırma

Hem R-kare hem de Düzeltilmiş R-kare, bir modelin uyum iyiliğini ölçmek için kullanılsa da birbirinin yerine geçmezler ve farklı amaçlara hizmet ederler. R-kare, tek bir bağımsız değişkenli basit doğrusal regresyon için daha uygunken; Düzeltilmiş R-kare, birden fazla tahmincinin olduğu çoklu regresyon modelleri için daha uygundur.