调整后的R平方

调整后的R平方用于评估回归模型的拟合度，修正预测变量数量以避免过拟合。与R平方不同，只有显著的预测变量才会提升该值。在回归分析中非常重要，常用于模型选择和如金融等领域的模型性能评估。

调整后的R平方是一种用于评估回归模型拟合优度的统计量。它是R平方（决定系数）的修正版本，会根据模型中的预测变量数量进行调整。与R平方会因增加自变量数量而虚高不同，调整后的R平方会修正预测变量数量，能更准确地衡量模型的解释能力。只有当新加入的预测变量提升模型的预测能力超过偶然性时该值才会上升，反之若变量无显著贡献则该值下降。

概念解析

R平方与调整后的R平方

• R平方：表示因变量的方差有多大比例可以由自变量来预测。其计算为解释方差与总方差之比，取值范围为0到1，1表示模型能完全解释响应数据的变异。
• 调整后的R平方：在R平方的基础上，根据模型中的预测变量数量进行调整。此修正旨在避免由于包含过多预测变量而导致的过拟合。调整后的R平方始终小于或等于R平方，且可能为负，表明模型拟合效果比用因变量均值的水平线还差。

数学公式

调整后的R平方的公式为：

[ \text{调整后 } R^2 = 1 – \left( \frac{1-R^2}{n-k-1} \right) \times (n-1) ]

其中：

• ( R^2 ) 为R平方，
• ( n ) 为观测数量，
• ( k ) 为自变量（预测变量）数量。

在回归分析中的重要性

调整后的R平方在回归分析中至关重要，尤其是在多元回归模型中涉及多个自变量时。它有助于判断哪些变量提供了有意义的信息，哪些则没有。这在金融、经济学和数据科学等以预测建模为核心的领域尤为关键。

过拟合与模型复杂度

调整后的R平方的主要优点之一是能惩罚无显著性预测变量的加入。通常情况下，向回归模型中增加变量会提升R平方，因为更容易捕捉到随机噪音。但调整后的R平方只有在新变量真正提升模型预测能力时才会上升，从而有效避免过拟合。

应用场景与示例

在机器学习中的应用

在机器学习领域，调整后的R平方常用于评估回归模型的表现。尤其在特征选择阶段，这一指标能确保仅保留真正提升模型准确度的特征。

在金融领域的应用

在金融领域，调整后的R平方常被用于将投资组合的业绩与基准指数进行对比。通过修正变量数量，投资者能更好地理解各类经济因素对投资组合收益的解释力。

简单示例

假设一个模型用房屋面积和卧室数量预测房价，初步模型显示较高的R平方，拟合较好。但若加入如门的颜色等无关变量，R平方可能仍然很高。此时调整后的R平方反而会下降，提示新变量未提升模型预测能力。

详细示例

根据企业财务研究院（Corporate Finance Institute）的指南，假设有两个用于预测披萨价格的回归模型。第一个模型仅以面团价格为输入变量，R平方为0.9557，调整后的R平方为0.9493。第二个模型加入了温度作为第二个输入变量，R平方升至0.9573，但调整后的R平方降至0.9431。调整后的R平方正确地反映出温度并未提升模型预测能力，因此建议分析师优先选择第一个模型。

与其他指标的比较

尽管R平方和调整后的R平方都用于衡量模型的拟合优度，但它们并不等价，适用场景也不同。R平方适用于只有一个自变量的简单线性回归，而调整后的R平方更适合包含多个预测变量的多元回归模型。